Rot của một trường vectơ F, ký hiệu là rot ⁡   F {\displaystyle \operatorname {rot} \ \mathbf {F} } hay ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } , tại một điểm được định nghĩa bởi:[1]

( ∇ × F ) ⋅ n ^   = d e f lim A → 0 ∮ C ⁡ F ⋅ d r A {\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {\hat {n}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{A\to 0}{\frac {\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }{A}}} Hướng của vector của tích phân đường

Ở đây ∮ C ⁡ F ⋅ d r {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} } là tích phân đường dọc theo biên của vùng đang xét (i.e., C = ∂ A {\displaystyle C=\partial {\mathcal {A}}} ), và A {\displaystyle \,A} là diện tích của A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . Nếu ν ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {\nu }} } là vectơ bán kính nằm trong mặt phẳng, mà n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } là vectơ đơn vị vuông góc với mặt phẳng (xem hình bên), thì hướng của C được chọn sao cho vectơ ω ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {\omega }} } tiếp tuyến với C được định hướng dương nếu và chỉ nếu { n ^ , ν ^ , ω ^ } {\displaystyle \{\mathbf {\hat {n}} ,\mathbf {\hat {\nu }} ,\mathbf {\hat {\omega }} \}} tạo thành một hệ tọa độ dương trong R3 (quy luật bàn tay phải).

Công thức trên nghĩa là rot của một trường vecto được định nghĩa như là mật độ lưu chuyển của trườngđó. Theo đó

( r o t F ) 3 = 1 a 1 a 2 ⋅ ( ∂ ( a 2 F 2 ) ∂ u 1 − ∂ ( a 1 F 1 ) ∂ u 2 ) . {\displaystyle ({\rm {{rot\,}\,\mathbf {F} )\,_{3}={\frac {1}{a_{1}a_{2}}}\cdot \left({\frac {\partial (a_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (a_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right)\,.}}}

Nếu ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})} là tọa độ Cartesian và ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle (u_{1},u_{2},u_{3})} là tọa độ curvilinear, thì a i = ∑ j = 1 3 ( ∂ x j ∂ u i ) 2 {\displaystyle a_{i}={\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{3}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}} là độ dài của vectơ tọa độ tương ứng với u i {\displaystyle u_{i}} . Hai thành phần còn lại của rot có thể tính từ phép hoán vị chỉ số: 3,1,2 -> 1,2,3 -> 2,3,1.

Diễn giải theo trực giác

Giả sử trường vectơ mô tả trường vận tốc của một dòng chảy (có thể là trong một bồn chứa nước lớn haybồn khí) và một quả bóng nhỏ được đặt trong chất lỏng hay khí (tâm của quả bóng được gắn chặt vàomột điểm nào đó). Nếu mặt quả bóng xù xì, nó sẽ xoay bởi chất lỏng chảy qua nó. Trục quay (theo quy tắcbàn tay phải) sẽ chỉ hướng của rot của trường vecto tại tâm của quả bóng, và vận tốc góc sẽ bằng phân nửa giá trị của rot tại điểm đó.

Ngay cả khi các dòng chảy là song song, quả bóng có thể bắt đầu xoay nếu chất lỏng bên này chảy nhanh hơn bên kia.